Lehre

Erlernen von grundlegenden Kenntnissen und Fähigkeiten

Heranführung an aktuelle Themen in Forschung und Wirtschaft

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Bachelorveranstaltungen

Statistical Computing

Die Themen in der Vorlesung Statistical Computing werden in einem Wechselspiel zwischen Theorie und der praktischen Umsetzung mit der Statistiksoftware R behandelt. Sie sollten Grundlegende Kenntnisse in der Analysis, der linearen Algebra besitzen und eine elementare Vorlesung der Stochastik besucht haben. Erste Programmiererfahrungen sind wünschenswert.

Organisatorisches

  • 5 Leistungspunkte
  • Wahlpflichtmodul
  • Fächerkatalog MAT
  • Semesterbegleitend in Aachen und Jülich, in Blöcken in Köln
  • 2 SWS Vorlesung + 2 SWS Übung

Inhaltliches

  • Erzeugung von Zufallszahlen
  • Simulation
  • Monte-Carlo Verfahren
  • Visualisierung von Daten
  • Dichteschätzung
  • Anwendungen

Geschichte der Monte-Carlo Simulation

Bereits im 18. Jahrhundert stellte Buffon mit seinem bekannten Nadelproblem ein Monte-Carlo Verfahren vor, um eine experimentelle Näherung für die Kreiszahl π zu ermitteln. In der Mitte des 20. Jahrhunderts ging die eigentliche Entwicklung mit der Entwicklung der ersten Computer einher. Bedeutende Erkenntnisse wurden im Zusammenhang mit physikalischen Fragestellungen gewonnen. Berühmte Naturwissenschaftler wie Enrico Fermi, Nicholas Metropolis, Stanislaw Ulam, Edward Teller, John von Neumann und Richard Feynman haben maßgeblich in dem Gebiet gewirkt.

Anwendungen

Die Vorlesung bereitet Sie auf ein weites Feld an praktischen Annwendungen vor. Unter anderem

  • Computersimulationen, etwa in der Physik
  • Stochastische Unternehmensmodelle bei Banken und Versicherungen zur Vorhersage, Bewertung und Risikomessung
  • Approximative Berechnung von (ggf. mehrdimensionalen) Integralen in Wissenschaft, Technik und Wirtschaft
  • Implementierung von modernen statistisschen Verfahren, etwa zur Bestimmung von kritischen Werten beim Testen von Hypothesen, Bootstrapverfahren oder Permutationsverfahren

Beispiel 1: Gleichverteilung auf dem Einheitskreis

Teilen wir einen 2-dimensionalen standardnormalverteilten Zufallsvektor durch seine Norm erhalten wir einen Zufallsvektor, der gleichverteilt auf dem Einheitskreis ist. Im Folgenden sehen wir je 200 Realisierungen eines solchen Experimentes.

Eine zufällige Ansammlung von Punkten auf einem Kreis.
Eine zufällige Ansammlung von Punkten auf einem Kreis.
Eine zufällige Ansammlung von Punkten auf einem Kreis.

Beispiel 2: Visualisierung von Abhängigkeiten

Mithilfe der Statistiksoftware R können wir über Streudiagramme oder graphische Darstellungen der empirischen Korrelationen Erkenntnisse über die Abhängigkeitsstrukturen in Datensätzen gewinnen.

Eine Scatterplotmatrix der vier Eigenschaften Kelchblatt Länge und Weite sowie Kronblatt Länge und Weite von drei Schwertlilienarten..
Ein Korrellationsdiagramm in Form einer oberen Dreiecksmatrix. Die Größe und Farbe der Punkte verdeutlicht, wie stark Fähigkeiten in unterschiedlichen athletischen Disziplinen korreliert sind.

Literatur

  • Rizzo, M. L. (2019). Statistical Computing with R, Second Edition. Chapman & Hall/Crc.
  • Givens, G. H., Hoeting, J. A. (2013). Computational Statistics, Second Edition. John Wiley & Sons, Inc.
  • Gentle, J. E. (2009). Computational Statistics. Springer.
  • Gentle, J. E. (2002). Elements of Computational Statistics. Springer.
  • Gentle, J. E. (2003). Random Number Generation and Monte-Carlo Methods, Second Edition. Springer.

Masterveranstaltung

Übersicht über die Lehrveranstaltungen in der Stochastik.

Wir bieten eine Reihe an Grundlagen- und Spezialisierungsveranstaltungen im Bereich Stochastik und Statistik an.

 

Stochastik I

Wir folgen dem Ansatz von Kolmogorow (einem der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts) und entwickeln die Wahrscheinlichkeitstheorie vor einem allgemeinen maßtheotetischen Hintergrund

Organisatorisches

  • 10 Leistungspunkte
  • Hybride Veranstaltung
  • Montag Vormittag im Wintersemester
  • 4 SWS Vorlesung + 2 SWS Übung
  • Aufgaben für zu Hause
  • Lösungen in der Übung

Inhaltliches

  • Wahrscheinlichkeitsräume
  • Zufallsvariablen und ihre Verteilungen
  • Maßintegral und Erwartungswerte
  • Stochastische Unabhängigkeit und Produktmaße
  • Fourier-Transformierte
  • Gesetze der großen Zahlen
  • Zentrale Grenzwertsätze

Fortgeschrittene Stochastik

Wir bewegen uns weiter in den Fußstapfen von Kolmogorow und behandeln Anwendungen, z.B. bei nichtparametrischer Regression oder für das bekannte Black-Scholes Modell in der Finanzmathematik (Nobelpreis für Ökonomie 1997) 

Organisatorisches

  • 10 Leistungspunkte
  • Hybride Veranstaltung
  • Montag Vormittag im Sommersemester
  • 4 SWS Vorlesung + 2 SWS Übung
  • Aufgaben für zu Hause
  • Lösungen in der Übung

Inhaltliches

  • Erweiterungen des zentralen Grenzwertsatzes (z.B. für Bootstrap)
  • Bedingte Erwartungswerte und bedingte Verteilungen
  • Stochastische Prozesse und die Itō-Formel
  • Anwendungen im Bereich nichtparametrische Statistik
  • Anwendungen im Bereich Finanzmathematik

Mathematische Statistik I

Nun sind wir auf den Spuren von Ronald Fisher, “a genius who almost single-handedly created the foundations for modern statistical science” (Anders Hald) oder “the single most important figure in 20th century statistics” (Bradley Efron)

  • 10 Leistungspunkte
  • Hybride Veranstaltung
  • Dienstag Nachmittag im Sommersemester
  • 4 SWS Vorlesung + 2 SWS Übung
  • Aufgaben für zu Hause
  • Lösungen in der Übung

Inhaltliches

  • Parametrische Modelle, etwa Exponentialfamilien
  • Punktschätzung, insbesondere Maximum-Likelihood-Schätzer
  • Statistische Testtheorie, unter anderem das Lemma von Neyman-Pearson
  • Bereichsschätzung, z.B. Konfidenzintervalle

Kombinatorische Verfahren

Anhand von kombinatorischen Überlegungen leiten wir äußerst interessante Resultate aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik her. Wir lernen dabei moderne Themen der Stochastik kennen.

Organisatorisches

  • 5 Leistungspunkte
  • Hybride Veranstaltung
  • Dienstag Nachmittag im Wintersemester
  • 2 SWS Vorlesung + 2 SWS Übung
  • Aufgaben für zu Hause
  • Lösungen in der Übung

Inhaltliches

  • Irrfahrten und das Spiegelungsprinzip
  • Stochastische Prozesse, z.B. der Wiener Prozess (oder die Brownsche Bewegung)
  • Der Hauptsatz der Statistik (Satz von Glivenko-Cantelli)
  • Ordnungs- und Rangstatistiken
  • Nichtparametrische Tests

Abschlussarbeiten

Im Bereich der Stochastik können Bachelor- oder Masterarbeiten vergeben werden. Nachfolgend finden Sie eine beispielhafte Auswahl von möglichen Abschlussarbeitsthemen. 

Bachelorarbeiten

  • Konfidenzbänder für Verteilungsfunktionen
  • Testing for two states in a hidden Markov model
  • Erklärbarkeit künstlicher Intelligenz mit Shapley Additive Explanations
  • The application of different resampling methods in statistics
  • The Black-Scholes model
  • Das kollektive Risikomodell

Masterarbeiten

  • A test for Gaussianity in Hilbert spaces
  • Modellierung von Exzessen mithilfe der verallgemeinerten Pareto-Verteilung
  • Asymptotische Normalität von Support Vector Machines
  • Konsistenz von Random Forests
  • Unabhängigkeitstests bei teils diskreter und stetiger Merkmalsausprägung